Nilai \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \ \frac{1-\cos 2x}{1-\cos x} = \cdots \)
Pembahasan:
Jika kita substitusi \(x = 0\) ke fungsi limitnya diperoleh bentuk tak tentu 0/0 sehingga kita tidak bisa gunakan cara substitusi langsung untuk menyelesaikan limit ini.
Untuk dapat menyelesaikan limit tersebut, Anda perlu menggunakan rumus identitas trigonometri berikut:
\begin{aligned} \cos 2x &= 1 - 2 \sin^2 x \quad \text{atau} \quad 1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x \\[8pt] \cos x &= 1 - 2 \sin^2 \frac{1}{2} x \quad \text{atau} \quad 1 - \cos 2x = 2 \sin^2 \frac{1}{2} x \end{aligned}
Dengan menggunakan rumus identitas trigonometri di atas, penyelesaian limit dalam soal ini, yaitu:
\begin{aligned} \lim_{x\to 0} \ \frac{1-\cos 2x}{1-\cos x} &= \lim_{x\to 0} \ \frac{2\sin^2 x}{2 \sin^2 \frac{1}{2}x} \\[8pt] &= \lim_{x\to 0} \ \frac{\sin x}{\sin \frac{1}{2}x} \cdot \lim_{x\to 0} \ \frac{\sin x}{\sin \frac{1}{2}x} \\[8pt] &= \frac{1}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 \\[8pt] &= 4 \end{aligned}